石景山區(qū)—學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷高三數(shù)學(xué)（理科）本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘.請務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結(jié)束后上交答題卡.第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合，，那么（ ）A．B．C．D．2．復(fù)數(shù)（ ）A．B．C．D．3．已知向量，，則“”是“∥”的（ ）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，那么數(shù)列通項公式為（ ）A．B．C．D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為，則輸出的的值為（　�。〢．B．C．D． 6． 在邊長為的正方形中任取一點，則點恰好落在正方形與曲線圍成的區(qū)域內(nèi)(陰影部分)的概率為（ ）A．B．C．D．7．用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（ ）A．B． C．D．8．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若在區(qū)間上方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A．B．C．D．第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．的參數(shù)方程為為參數(shù)，則圓的直角坐標(biāo)方程為_______________，圓心到直線的距離為______． 1．中，角的對邊分別為，若，，，則______．11．，滿足約束條件則 ．12．中，，是上一點，以為圓心，為半徑的圓與交于點，與切于點，，，則的長為 ，的長為 ． 13．的焦點為，準(zhǔn)線為直線，過拋物線上一點作于，若直線的傾斜角為，則______． 14． 是邊長為的正方形，且平面，為上動點，過且垂直于的平面交于，那么異面直線與所成的角的度數(shù)為 ，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時， 四棱錐的長為 ．三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)．在上的最小值，并寫出取最小值時相應(yīng)的值．13分）北京市各級各類中小學(xué)每年都要測試，測試總成績滿分為分測試成績在之間為體質(zhì)優(yōu)秀；在之間為體質(zhì)良好；在之間為體質(zhì)合格；在之間為體質(zhì)不合格． 現(xiàn)從某校高年級的名學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生體質(zhì)測試成績?nèi)缦拢?356801122333445667797056679645856（Ⅰ）試估計該校高年級體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；名學(xué)生體質(zhì)測試成績名學(xué)生，再從這名學(xué)生中選出人．名學(xué)生中至少有名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率；（?）記為名學(xué)生中體質(zhì)為良好的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點．（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在一點（不與兩點重合），使得∥平面?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．18．（本小題滿分13分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）已知函數(shù)在處取得極小值，不等式的解集為，若，且，求實數(shù)的取值范圍.19．（本小題滿分14分）已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且，再過作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).20．（本小題滿分13分）已知集合，對于數(shù)列中.（Ⅰ）若項數(shù)列滿足，，則數(shù)列中有多少項取值為零？()（Ⅱ）若各項非零數(shù)列和新數(shù)列滿足（）．（?）若首項，末項，求證數(shù)列是等差數(shù)列；（?）若首項，末項，記數(shù)列的前項和為，求的最大值和最小值．石景山區(qū)—學(xué)年第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．題號12345678答案DCAACBBD二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 題號91011121314答案，，，(兩空的題目第一空2分，第二空3分)三、解答題共6小題，共80分．15．（本小題共13分）解：（Ⅰ） …………2分 ， ……………4分 ，， ，， ……………6分所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．，， ……………9分， ， ……………11分 所以當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值．13分）解：（Ⅰ）根據(jù)抽樣，估計該校高三學(xué)生中體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)有人．（Ⅱ）依題意，體質(zhì)為良好和優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)之比為 ．，從體質(zhì)為優(yōu)秀的學(xué)生中抽取的人數(shù)為． ……………6分（?）設(shè)“在選出的名學(xué)生中至少有名體質(zhì)為優(yōu)秀”為事件，則 ．名學(xué)生中至少有名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率為．的所有取值為．， ，．的分布列為: ．因為平面，平面，所以. ……………1分取因為底面為直角梯形，∥，，且，所以四邊形為正方形，所以，且，所以，即. ……………3分又， 所以平面. ……………4分（Ⅱ）解：如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系． ……………5分則，，，，所以，，．因為平面，所以為平面的一個法向量． ……………6分 設(shè)平面的法向量為， 由，得 令，則，， 所以是平面的一個法向量． ……………8分 所以 因為二面角為銳角， 所以二面角的余弦值為． ……………9分（Ⅲ）解：假設(shè)在線段上存在點（不與兩點重合），使得∥平面． 設(shè)，則，． 設(shè)平面的法向量為，由，得令，則，，所以是平面的一個法向量．因為∥平面，所以，即， ……………13分解得，所以在線段上存在一點（不與兩點重合），使得∥平面，且．8.（本小題共13分）解：（Ⅰ）當(dāng)時，，， ，得， ……………2分所以曲線在點處的切線方程為. ……………3分（Ⅱ）.當(dāng)時，恒成立，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間； ……………5分當(dāng)時，時，，時，，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.……………7分（Ⅲ）由題意知得，經(jīng)檢驗此時在處取得極小值. ……………8分因為，所以在上有解，即使成立， ……………9分即使成立， …………10分所以.令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則， ……………12分 所以. ……………13分19．（本小題共14分）解：（Ⅰ）因為點在橢圓上，所以， 所以， ……………1分 因為橢圓的離心率為， 所以，即 ， ……………2分 解得， ……………4分 所以橢圓的方程為. ……………5分 （Ⅱ）設(shè)，， ①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，， 由得， ……………7分所以， ……………8分因為，即為中點，所以，即. 所以， ……………9分 因為直線， 所以，所以直線的方程為，即 ，顯然直線恒過定點. ……………11分②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過點. ……………13分綜上所述直線恒過定點. ……………14分20．（本小題共13分）解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列中項為分別有項．由題意知解得．所以數(shù)列中有項取值為零． ……………3分（Ⅱ）（?）且，得到，若，則滿足．此時，數(shù)列是等差數(shù)列；若中有個，則不滿足題意；所以數(shù)列是等差數(shù)列． ……………7分（?）因為數(shù)列滿足，所以，根據(jù)題意有末項，所以．而，于是為正奇數(shù)，且中有個和個．要求的最大值，則只需前項取，后項取，所以 （為正奇數(shù)）．要求的最小值，則只需前項取，后項取，則 （為正奇數(shù)）． …………13分【注：若有其它解法，請酌情給分．】 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源 1 12 每天發(fā)布最有價值的是輸入輸出開始結(jié)束否．（試題全）北京市石景山區(qū)屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題（WORD版，含答案）
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