北京市西城區(qū)2015 — 2015學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則集合（ ）（A） （B） （C） （D）2.已知復(fù)數(shù)z滿足，那么的虛部為（ ）（A） （B） （C） （D）3.在△ABC中，，，，（ ）（A） （B） （C） （D）4.執(zhí)行如圖所示的程序框 （B） （C） （D）5.已知圓與x軸切于A點，與y軸切于B點，設(shè)劣弧的中點為M，則過點M的圓C的切線方程是（ ）（A） （B）（C） （D）6.若曲線為焦點在軸上的橢圓，則實數(shù),滿足（ ）（A） （B） （C） （D）7.．定義域為R的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，的最小值為（ ） （A） （B） （C） （D）8.如圖，正方體的棱長為，動點P在對角線上，過點P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設(shè)x，則當(dāng)時，函數(shù)的值域為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】試題分析：棱長為，故體對角線=，根據(jù)對稱性，只需研究，函數(shù)的值域，連接，則面，此時，當(dāng)時，截面周長為截面周長的一半，即，當(dāng)時，即當(dāng)截面過體對角線中點時，此時截面為正六邊形，其頂點為個棱的中點，如圖所示，截面周長為.，所以函數(shù)的值域為.考點：1、直線和平面垂直的判定；2、截面周長.第Ⅱ卷（共110分）二、填空題（每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上）9.在平面中，點，，若向量，則實數(shù) _____．，因為，故，即，解得.考點：1、向量的坐標(biāo)運算；2、向量垂直.10.若等差數(shù)列滿足，，則______；______．______．甲、乙兩從中各選，則所選的中恰有1相同的選法______. （用數(shù)字作答）13.如圖，為圓上的兩個點，為延長線上一點，為圓的切線，為切點. 若，，則______；______．平面中，記不等式組所表示的平面區(qū)域為.在映射的作用下，區(qū)域內(nèi)的點對應(yīng)的象為點. （1）在映射的作用下，點的原象是 ；（2）由點所形成的平面區(qū)域的面積為______．13分）已知函數(shù)，，且的最小正周期為.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.16.（本小題滿分13分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組名同學(xué)乙組記錄中有一個數(shù)模糊，無法確認(rèn)，表示． （）求的值時，分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績之差的絕對值為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望所以的數(shù)學(xué)期望14分）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中點.（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直線DH與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的大小.又因為 平面，所以 . 因為 ，所以平面. （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.設(shè)平面的法向量為，所以 即令，得. 由平面，得平面的法向量為，則. 由圖可知二面角為銳角，所以二面角的大小為. 考點：1、直線和平面垂直的判定定理；2、直線和平面所成的角；3、二面角.18.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.【答案】（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為；（Ⅱ）詳見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)得，，因為，所以的解集為，即單調(diào)遞增區(qū)間；的解集為，即單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)，令，得，顯然是一個零點，記，求導(dǎo)得，易知時遞減；時遞增，故的最小值，又，故，即，所以函數(shù)的零點個數(shù)1個.試題解析：（Ⅰ）解：因為，，所以．，得．變化時，和的變化情況如下：??故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．14分）已知是拋物線的坐標(biāo)為，直線的斜率為k， 為坐標(biāo)原點.（Ⅰ）若拋物線的下方，求k的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】考點：1、直線的方程；2、直線和拋物線的位置關(guān)系；3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.20.（本小題滿分13分）設(shè)無窮的公比為q，且，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若對于任意不超過的正整數(shù)n，都有，證明：.（）（）的充分必要條件為.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見解析；（），所以 ，. 因為 ，所以 ， . 由 ，得 . 因為 ， 所以 ， 所以 ，即 . 考點：1、等比數(shù)列的通項公式；2、數(shù)列前n項和；3、充要條件. 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源 1 1 每天發(fā)布最有價值的甲組乙組8901a822北京市西城區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末考試試題（數(shù)學(xué) 理）
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