北京市西城區(qū)2015 — 2014學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷 高三數(shù)學(xué)（理科） 2014.1第Ⅰ卷（選擇題 共40分）一、題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項，，則集合（ ）（A）（B）（C）（D）2．已知復(fù)數(shù)z滿足，那么的虛部為（ ）（A）（B）（C）（D）3．在△ABC中，，，，（ ）（A）（B）（C）（D）4．執(zhí)行如圖所示的程序框（B）（C）（D）5．已知圓與x軸切于A點，與y軸切于B點，設(shè)劣弧的中點為M，則過點M的圓C的切線方程是（ ）（A）（B）（C）（D）6． 若曲線為焦點在軸上的橢圓，則實數(shù),滿足（ ）（A）（B）（C）（D）7．定義域為R的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，的最小值為（ ） （A） （B） （C） （D） 8. 如圖，正方體的棱長為，動點P在對角線上，過點P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設(shè)x，則當(dāng)時，函數(shù)的值域為（ ）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9. 在平面中，點，，若向量，則實數(shù) _____．10．滿足，，則______；______．11．______．12．甲、乙兩從中各選，則所選的中恰有1相同的選法______. （用數(shù)字作答）13．為圓上的兩個點，為延長線上一點，為圓的切線，為切點. 若，，則______；______．14．平面中，記不等式組所表示的平面區(qū)域為.在映射的作用下，區(qū)域內(nèi)的點對應(yīng)的象為點. （1）在映射的作用下，點的原象是 ；（2）由點所形成的平面區(qū)域的面積為______．15．13分）已知函數(shù)，，且的最小正周期為.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.16．13分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組名同學(xué)乙組記錄中有一個數(shù)模糊，無法確認(rèn)，表示． （）求的值時，分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績之差的絕對值為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望17．14分）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中點.（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直線DH與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的大小.18．13分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.19．14分）已知是拋物線的坐標(biāo)為，直線的斜率為k， 為坐標(biāo)原點.（Ⅰ）若拋物線的下方，求k的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.20．13分）設(shè)無窮的公比為q，且，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若對于任意不超過的正整數(shù)n，都有，證明：.（）（）的充分必要條件為.北京市西城區(qū)2015 — 2014學(xué)年度第一學(xué)期期末高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2014.1一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1．．．．．．．．．． 11． ．． 14．注：第10、12分，第二問3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15．13分） （Ⅰ）解：因為的最小正周期為， 所以 ，解得． ……………… 3分 由 ，得， 即 ， ……………… 4分 所以 ，. 因為 ， 所以. ……………… 6分（Ⅱ）解：函數(shù) ……………… 8分， ………………10分由 ， ………………11分解得 ． ………………12分所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.…………13分16．13分）（Ⅰ）解：， ……………… 2分解得 分：， ……………… 4分，共有10種可能. ……………… 5分時甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相同，所以當(dāng)時，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有8種可能．… 6分． ……………… 7分時，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績結(jié)果有種，，，，，，，，， ……………… 9分的所有取值為. ……………… 10分，，，，.……………… 11分的分布列為：01234………………12分的數(shù)學(xué)期望17．14分）（Ⅰ）證明：因為四邊形是菱形，所以 . ……………… 1分因為平面平面，且四邊形是矩形， 所以 平面， ……………… 2分又因為 平面，所以 . ……………… 3分因為 ，所以 平面. ……………… 4分（Ⅱ）解：設(shè)，取的中點，連接，因為四邊形是矩形，分別為的中點，所以 ，又因為 平面，所以 平面，由，得兩兩垂直.所以以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系. ……………… 5分因為底面是邊長為2的菱形，，，所以 ，，，，，. ………………6分因為 平面， 所以平面的法向量. …………7分設(shè)直線與平面所成角為，由 ， 得 ，所以直線與平面所成角的正弦值為. ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.設(shè)平面的法向量為，所以 ………………10分即 令，得. ………………11分由平面，得平面的法向量為，則. ………………13分由圖可知二面角為銳角，所以二面角的大小為. ………………14分18.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：因為，，所以．，得．變化時，和的變化情況如下：??……………… 5分故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．有且僅有一個零點. ……………… 7分理由如下：由，得方程， 顯然為此方程的一個實數(shù)解. 所以是函數(shù)的一個零點. ……………… 9分當(dāng)時，方程可化簡為. 設(shè)函數(shù)，則，令，得．變化時，和的變化情況如下：??即的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．的最小值. ………………11分因為 ， 所以，所以對于任意，，因此方程無實數(shù)解．時，函數(shù)不存在零點.綜上，函數(shù)有且僅有一個零點. ………………13分19．14分）（Ⅰ）解：拋物線. ……………… 1分由題意，得直線的方程為， ……………… 2分令 ，得，即直線與y軸相交于點. ……………… 3分因為拋物線的下方，所以 ，解得 . ……………… 5分（Ⅱ）解：由題意，設(shè)，，，聯(lián)立方程 消去，得， 由韋達(dá)定理，得，所以 . ……………… 7分同理，得的方程為，. ……………… 8分對函數(shù)求導(dǎo)，得，所以拋物線在點處的切線斜率為，所以切線的方程為， 即. ……………… 9分同理，拋物線在點處的切線的方程為.………………10分聯(lián)立兩條切線的方程解得，，所以點的坐標(biāo)為. ………………11分因此點在定直線上. ………………12分因為點到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點時等號成立． ………………13分由，得，驗證知符合題意.所以當(dāng)時，有最小值. ………………14分20．13分）（Ⅰ）解：由等比數(shù)列的，，得，，，且當(dāng)時，. ……………… 1分 所以，，，且當(dāng)時，. ……………… 2分 即 ……………… 3分（Ⅱ）證明：因為 ，所以 ，. ……………… 4分因為 ，所以 ，. ……………… 5分 由 ，得 . ……………… 6分因為 ， 所以 ， 所以 ，即 . ……………… 8分（），， 所以 ， 所以 對一切正整數(shù)n都成立. 因為 ，，所以 . ……………… 9分（必要性）因為對于任意的，，當(dāng)時，由，得；當(dāng)時，由，，得.所以對一切正整數(shù)n都有. 由 ，，得對一切正整數(shù)n都有， ………………10分所以公比為正有理數(shù). ………………11分假設(shè) ，令，其中，且與的最大公約數(shù)為1. 因為是一個有限整數(shù)，所以必然存在一個整數(shù)，使得能被整除，而不能被整除.又因為，且與的最大公約數(shù)為1. 所以，這與（）矛盾.所以.因此，. ……………13分 第 2 頁 共 14 頁P(yáng)D1 C1D CDHAECBFHDCOP.FA 是否結(jié)束輸出Si=i+1i=1，S=0開始228a1098乙組甲組 A1 B1A BBA2BEC側(cè)(左)視圖OzNxy北京市西城區(qū)2015—2015學(xué)年度高三第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)(理)試題(WORD精校版)
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